40. Kehitä kosini sarjaksi yhdeksänteen asteeseen asti. Vertaa sitä esimerkin sinin sarjakehitelmään.

c = Series[Cos[x], {x, 0, 9}]

41. Laske yhteen sinin ja kosinin sarjakehitelmien neliöt. Mitä pitäisi tulla tulokseksi ja mitä saat?

s = Series[Sin[x], {x, 0, 9}]

c^2 + s^2

42. Piirrä sinin kolmannen, viiden, seitsemännen ja yhdeksännen asteen sarjakehitelmien kuvaajat ja vertaa niitä tarkkaan kuvaajaan.

s3 = Series[Sin[x], {x, 0, 3}]
s5 = Series[Sin[x], {x, 0, 5}]
s7 = Series[Sin[x], {x, 0, 7}]
s9 = Series[Sin[x], {x, 0, 9}]

Normal[{s3, s5, s7, s9}]

Plot[{%37[[1]], %37[[2]], %37[[3]], %37[[4]], 
        Sin[x]}, {x, 0, 2*Pi}, 
      PlotStyle -> {Hue[0], Hue[0.2], Hue[0.4], Hue[0.6], 
          Hue[0.8]}]

43. Kehitä sini sarjakehitelmäksi pisteen x=1 ympäristössä kuudennen asteen termejä myöten.Esitä tulos polynomina käyttäen Expand-komentoa.

sini = Series[Sin[x], {x, 1, 6}]

Normal[%]

Expand[%]

Together[%]

44. Tutki myös jonkin muun funktion sarjakehitelmien tarkkuutta muunnellen astelukua.

loka1 = Series[Log[x], {x, 1, 4}]

loka2 = Series[Log[x], {x, 1, 7}]

loka3 = Series[Log[x], {x, 1, 10}]

45. Kokeile kehittää jokin määrittelemätön funktio f[x] sarjakehitelmäksi.Mitä saat tulokseksi?

Clear[f]

funk = Series[f[x], {x, a, 10}]

Eli saatiin siis f:n Taylorin sarja pisteen a ympäristössä.

46. Esimerkkinä singulaarisista eli ns.Laurentin sarjakehitelmistä kehitä funktio (e^x)/(x-1) sarjaksi pisteen x=1 ympäristössä.Mathematican komento on sama kuin Taylorin sarjakehitelmän tapauksessa.

eka = Series[E^x/(x - 1), {x, 1, 10}]

47. Muunna kehitelmä Normal-funktion avulla normaaliin lausekkeen muotoon kuvan piirtämistä varten ja piirrä kuva.

toka = Normal[eka]

Plot[toka, {x, -2, 2}]

48.  Osoita, \(että\ suhteellisuusteorian\ mukaisesta\ energian\ lausekkeesta\ E\)=m(c^2)saadaan ei-relativistinen liike-energian lauseke
 E=(Subscript[m, 0])(c^2)+1/2(Subscript[m, 0])(v^2),kun liikemassan m ja lepomassan(Subscript[m, 0])välille voidaan johtaa relaatio m=(Subscript[m, 0])/sqrt(1 - v^2/c^2).

Clear[m0, c, v]

Series[ m0 c^2/Sqrt[1 - v^2/c^2],{v, 0, 2}]