Integrointi

Integroi sin(x) välillä 0->2π. Kokeile myös numeerista integrointia.

Integroi (∫_a^b)(∫_d^c) 
                (1/(x y)) dx dy.

\(Integroi\ \(∫\((4\ x^4 + 4\ x^3 - 9\ x^2 - x + 
                2)\)\ dx\ ja\ tarkista\ saamasi\ tulos\ derivoimalla\ \(\(se\)\(.\)\)\)\)

Ylinopeutta ajava auto ajaa nopeudella v=15 m/s.Poliisi ryhtyy ottamaan ajajaa kiinni.Poliisiauto lähtee levosta ja kiihdyttää a=10 m/s^2. Milloin poliisi saa kaaharin kiinni?Piirrä kummankin auton paikka ajan funktiona.

Kappaleen kiihtyvyys a(t) ajan funktiona muuttuu seuraavasti
	a(t) = arctan(t),
kun aika ilmoitetaan sekunteina. Laske, mikä on kappaleen keskimääräinen nopeus 12 ensimmäisen sekunnin aikana, kun liikkeelle lähdetään levosta, ja mikä on sen nopeus 20 sekunnin kuluttua lähdöstä. Piirrä kiihtyvyyden ja nopeuden kuvaajat samaan kuvaan.

Aita on 1+0.5*Sin[x] metriä korkea välillä 0≤x≤10π. Mikä on aidan pinta-ala?

Integroi funktio exp(a x) ensin tavallisesti ja sitten olettaen, että a<0 (käyttäen optiota Assumptions).

\(Laske\ sellaisen\ "pyramidin"\ tilavuus, \ 
    jonka\ pohja\ on\ neliö, \ 
    jonka\ sivujen\ pituudet\ ovat\ a\ ja\ jonka\ sivut\ kulkevat\ paraabeleja\ 
\)
z = b - ((4 b x)/a) + ((4 b (x^2))/(a^2)) , 
z = 
      b + ((4 b x)/a) + ((4 b (x^2))/(a^2)), 
z = 
      b - ((4 b y)/a) + ((4 b (y^2))/(a^2)) ja
z = 
      b + ((4 b y)/a) + ((4 b (y^2))/(a^2))

\(myöten . \ \ Pyramidi\ siis\ näyttää\ pyramidilta, \ 
    jonka\ sivujen\ jyrkkyys\ kasvaa\ huippua\ kohti\ mentäessä . \ Yo . \ kaavoissa\ \)
-a/2 ≤ x ≤ a/2.  
\(Sanottakoon\ vielä, \ 
    että\ pyramidi\ on\ symmetrinen\ xz - \ ja\ yz - 
      tasojen\ suhteen\ ja\ että\ pyramidin\ pohja\ on\ korkeudella\ 0\ ja\ huippu\ on\ korkeudella\ b . \ 
          Tavallisen\ pydamidin\ tilavuus\ on\ \((a^2\ b)\)/3. \)