Integrointi

Integroi sin(x) välillä 0->2π. Kokeile myös numeerista integrointia.

Integroi .

Ylinopeutta ajava auto ajaa nopeudella v=15 m/s.Poliisi ryhtyy ottamaan ajajaa kiinni.Poliisiauto lähtee levosta ja kiihdyttää a=10 m/s^2. Milloin poliisi saa kaaharin kiinni?Piirrä kummankin auton paikka ajan funktiona.

Jepari siis saa kaaharin kiinni 3 sekunnissa. Huomattakoon, että jepareilla on vallan tehokas auto, joka kiihtyy kolmessa sekunnissa nopeuteen 30m/s=3.6*30 km/h=108 km/h.

Kappaleen kiihtyvyys a(t) ajan funktiona muuttuu seuraavasti
    a(t) = arctan(t),
kun aika ilmoitetaan sekunteina. Laske, mikä on kappaleen keskimääräinen nopeus 12 ensimmäisen sekunnin aikana, kun liikkeelle lähdetään levosta, ja mikä on sen nopeus 20 sekunnin kuluttua lähdöstä. Piirrä kiihtyvyyden ja nopeuden kuvaajat samaan kuvaan.

Keskinopeus saadaan, kun jaetaan kuljettu matka matkaan käytetyllä ajalla:

Aita on 1+0.5*Sin[x] metriä korkea välillä 0<=x<=10π. Mikä on aidan pinta-ala?

Integroi funktio exp(a x) ensin tavallisesti ja sitten olettaen, että a<0 (käyttäen optiota Assumptions).

Tehtävänannossa oli virhe: integrointi on suoritettava määrättynä integraalina 0:sta äärettömyyteen.

Tilannetta voidaan havainnollistaa piirtämällä kuvaajat:

Pyramidin sivut siis kulkevat käyriä pitkin ja jos kuvitellaan käyrien ja xy-tason väliin jäävien alueiden leikkaus, on helppo kuvitella, miltä pyramidi näyttää.

Pinta-ala tietyllä korkeudella z saadaan siten, että ratkaistaan esim. x ensimmäisestä kaavasta, jolloin saadaan sivun etäisyys yz-tasosta z:n funktiona. Tämä kerrotaan kahdella, jolloin saadaan kahden sivun välinen etäisyys ja se korotetaan vielä toiseen potenssiin, jolloin saadaan ala. Pinta-ala voidaan sitten integroida 0:sta b:hen.

Ensimmäinen vastaus on oikea, koska -a/2<=x<=a/2.
Siis pinta-ala korkeudella z on

Integroidaan tämä 0:sta b:hen: