Sarjat

Kehitä kosini sarjaksi yhdeksänteen asteeseen asti. Vertaa sitä esimerkin sinin sarjakehitelmään.

Laske yhteen sinin ja kosinin sarjakehitelmien neliöt. Mitä pitäisi tulla tulokseksi ja mitä saat?

Piirrä sinin kolmannen, viiden, seitsemännen ja yhdeksännen asteen sarjakehitelmien kuvaajat ja vertaa niitä tarkkaan kuvaajaan.

Kehitä sini sarjakehitelmäksi pisteen x=1 ympäristössä kuudennen asteen termejä myöten.Esitä tulos polynomina käyttäen Expand-komentoa.

Tutki myös jonkin muun funktion sarjakehitelmien tarkkuutta muunnellen astelukua.

Kokeile kehittää jokin määrittelemätön funktio f[x] sarjakehitelmäksi.Mitä saat tulokseksi?

Eli saatiin siis f:n Taylorin sarja pisteen a ympäristössä.

Esimerkkinä singulaarisista eli ns.Laurentin sarjakehitelmistä kehitä funktio /(x-1) sarjaksi pisteen x=1 ympäristössä.Mathematican komento on sama kuin Taylorin sarjakehitelmän tapauksessa.

Muunna kehitelmä Normal-funktion avulla normaaliin lausekkeen muotoon kuvan piirtämistä varten ja piirrä kuva.

Raja-arvot

Differentiaaliyhtälöt

Ratkaise 1:n kertaluvun lineaarinen vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö y'(x)-3y(x)=4.

Ratkaise 2:n kertaluvun lineaarinen vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö 4 y''(x)-3y'(x)+5y(x)=2. Määrää mieleisesi reunaehdot ja piirrä kuvaaja.

Tai

Eliminoi luentoesimerkin (ylöspäin heitetty kappale) tehtävästä vakio C[2] käyttämällä oletusta, jonka mukaan pesäpallon alkunopeus oli 10 m/s ylöspäin.

Mikä on pesäpallon saavuttama maksimikorkeus ja missä ajassa? Milloin pesäpallo palaa heittokorkeudelle?

Päättele veneestä pudotetun tiiliskiven tapauksessa järkevät reunaehdot, ratkaise yhtälö Mathematicalla, anna vakioille numeroarvot ja piirrä ratkaisusta kuva. Mitä huomaat? Miten tutkisit asiaa edelleen? Tutki myös mitä tapahtuu, jos muutat tiiliskiven massaa,ilman että muutat vakiota k.

Laske tiiliskiviesimerkki numeerisesti.Vertaa tuloksien yhtäpitävyytta piirtämällä kummastakin kuvaajat päällekäin, tai vaikka laskemalla niiden arvot muutamassa pisteessä.

Laske rakettiesimerkki ja piirrä sen ratkaisu,mutta lisää ilmanvastuksen aiheuttama voima,  =-kv^2=-k (t)^2. Käytä k:lle vaikka arvoa 0.3. Vieläkö ratkaistava yhtälö on lineaarinen? Vertaa raketin lentorataa esimerkin lentorataan.