Differentiaaliyhtälöt, mekaniikkaa

Laske esimerkin jouseen kiinnitetyn kappaleen hetkellinen nopeus.

Kirjoita tiedostoon Mathematica-ohjelma, joka antaa a:lle, k:lle ja m:lle järkevät arvot,ratkaisee yhtälön kuten edellä ja piirtää kuvaajan kappaleen poikkeamasta ajan funktiona.

Lisää ohjelmaan pätkä, joka laskee kappaleen hetkellisen nopeuden ja piirtää sen samaan kuvaan poikkeaman kanssa.Tulkitse kuvaa. (Huomaa, ettet voi viitata tuloksiin %n-menetelmällä ohjelman sisällä!)

Lisää kitkatermi differentiaali yhtälöön ja ratkaise jousen paikka ajan funktiona.

Kuten kitkattomassa tapauksessa, piirrä paikan ja nopeuden aikakehitys samaan kuvaajaan. Mitä eroja havaitset?

Differentiaaliyhtälöt, sähköoppia

Eliminoi LC-piirin esimerkistä vakiot asettamalla varaukselle q ja virralle q' sopivat alkuehdot, ja tutki saamaasi lopputulosta kuvin.Vaihtele komponenttien arvoja ja tutki systeemin käyttäytymistä.

Eliminoi LCR-piirien esimerkin tapauksessa vakiot kuten LC-piirien tapauksessa, ja tutki saamaasi lopputulosta kuvin. Vaihtele komponenttien arvoja ja  tutki systeemin käyttäytymistä.

Epälineaariset differentiaaliyhtälöt, differentiaaliyhtälöryhmät, populaatioiden kilpailu

Tutki yhtälön dN (t)/dt=ϵ N (t)-β(N^2)(t) käyttäytymistä eri parametrien arvoilla ja antamalla lukumäärälle eri lähtöarvoja ajan hetkellä t=\(0. \ Piirrä\ lukumäärän\ kuvaaja\ ajan\ \(\(funktiona\)\(.\)\)\)

\(Tutki\ sekä\ jänisten\ ja\ kettujen\ että\ kuusien\ ja\ mäntyjen\ elämää\ kuvaavien\ yhtälöiden\ käyttäytymistä\ eri\ parametrien\ arvoilla\ ja\ eri\ lähtöarvoja\ käyttäen . 
        Piirrä\ kettujen\ lukumäärä\ jänisten\ lukumäärän\ funktiona\ ja\ kuusien\ lukumäärä\ mäntyjen\ lukumäärän\ funktiona . Etsi\ kuvaajien\ avulla\ stabiilit\ ratkaisut, 
    joissa\ lajien\ lukumäärät\ pysyvät\ ajan\ funktiona\ \(\(vakioina\)\(.\)\)\)

\(HUOM : \ Seuraava\ tehtävä\ on\ vaikea, \ 
    joten\ se\ on\ lähinnä\ lisätehtävä, \ jos\ tuntuu\ siltä, \ 
    että\ kaipaat\ \(haastetta : \ 

Osaatko\ tehdä\ ohjelman\), \ 
    joka\ laskee\ satelliitin\ radan\ avaruudessa\ \((tasossa)\), \ 
    jossa\ Maa\ ja\ Venus\ kiertävät\ aurinkoa, \ 
    kun\ gravitaatiovoima\ kahden\ planeetan\ välillä\ \(tunnetaan : 

F\_x\) = 
      G\ m1\ m2\ \((x2 - 
              x1)\)/\((Sqrt[\((x1 - x2)\)^2 + \((y1 - 
                        y2)\)^2]^3)\)\)
ja
\(F\_y = 
      G\ m1\ m2\ \((y2 - 
              y1)\)/\((Sqrt[\((x1 - x2)\)^2 + \((y1 - 
                        y2)\)^2]^3)\), 

missä\ \)
\(F\_x\ on\ planeetan\ 2\ planeettaan\ 1\ kohdistama\ x - 
      akselin\ suuntainen\ voima, \ 
F\_y\ on\ vastaava\ y - akselin\ suuntainen\ voima, 
{x1, 
        y1}\ ovat\ planeetan\ 1\ koordinaatit, \ 
{x2, 
        y2}\ ovat\ planeetan\ 2\ koordinaatit, \ 
m1\ on\ planeetan\ 1\ massa, \ 
m2\ on\ planeetan\ 2\ massa\ \)
\(ja\ G\ on\ gravitaatiovakio . \ 

Voit\ antaa\ seuraavat\ alkuarvot\ planeettojen\ paikoille\ ja\ \(nopeuksille : 

\ xm[0] == 1\), 
ym[0] == 
      0.1, 
\(xm'\)[0] == 
      0, 
\(ym'\)[0] == 
      1, 
xv[0] == 
      0.5, 
yv[0] == 
      0.1, 
\(xv'\)[0] == 
      0, 
\(yv'\)[0] == 
      1.3, 
xs[0] == 
      0.9, 
ys[0] == 
      0.1, 
\(xs'\)[
        0] == \(-0.2\), 
\(ys'\)[0] == 
      0.6, 

missä\ m\ tarkoittaa\ Maata, \ \(v\ Venusta\ ja\ s\ satelliittia . \ 
            Aurinko\ pysyy\ paikoillaan\ origossa\  . \ \ Voit\ kokeilla\ myös\ muita\ alkuarvoja . 

Gravitaatiovakion\ voi\ asettaa\ ykköseksi . 

Massat\ voi\ asettaa\ \(seuraaviksi : 

ma\) = 
        1;\)\)
mm = 0.001;
mv = 0.0002;

\(Satelliitin\ massa\ on\ häviävän\ pieni . \ 

Piirrä\ planeettojen\ ja\ satelliitin\ radat\ avaruudessa . \ Kuvitellaan, \ 
    että\ satelliitti\ on\ lähetetty\ läheltä\ maata\ tutkimaan\ Venusta . \ 
        Milloin\ satelliitti\ on\ tarpeeksi\ lähellä\ Venusta\ jarrurakettien\ laukaisemista\ varten\ \(\((etäisyydellä\ 0.05\ tai\ vähemmän\ Venuksesta)\)\(?\)\)\)