Harjoitus 1 + Ratkaisut

Peruslaskutoimitukset

1. Laske 10 sin(10)
2. Jaa tulos 4:lla
3. Lisää tulokseen 10
4. Korota tulos potenssiin 2
5. Lisää 3. kohdan tulos edelliseen tulokseen

Ratkaisu

10  Sin[10]
%/4
% + 10
%^2
% + %%

Sijoituslausekkeet

Suora sijoitus

1. Aseta muuttujan x arvoksi 10 ja  muuttujan y arvoksi 5 suoralla sijoituksella, eli = -merkkiä käyttäen.
2. Aseta suoralla sijoituksella muuttujan z arvoksi 2x + y. Katso mikä on z:n arvo.
3. Aseta muuttujan x arvoksi 8. 
5. Mieti, mikä on z:n arvo nyt. Kokeile.

Tyhjennä muuttujat x,y ja z.

Ratkaisu

Tulostetaan ainoastaan rivit, joilla pyydetään z:n arvoa.

x = 10;
y = 5;
z = 2  x + y;
z
x = 8;
z
Clear[x, y, z];

Viivästetty sijoitus

1. Aseta muuttujien x ja y arvoiksi 3 ja 4.
2. Käyttäen viivästettyä asetusta, aseta muuttujan z arvoksi x*y.
3. Tarkista z:n arvo
4. Aseta x:n arvoksi 5. 
5. Mieti, mikä z:n arvo nyt on. Kokeile.
6. Tyhjennä y:n arvo. Kokeile, mitä z nyt on.

Tyhjennä muuttujat x, y ja z.

Ratkaisu

Tulostetaan vain rivit, joilla pyydetään z:n arvoa.

x = 3;
y = 4;
z := x y;
z
x = 5;
z
Clear[y];
z
Clear[x, y, z];

Lisätehtävä

1. Mieti, mitä a:=a+1 antaa.
2. Kokeile, ja yritä saada a:n arvo.
3. Tulkitse tulosta.
4. Mitä a=a+1 antaa?

Tyhjennä muuttuja a.

Ratkaisu

a := a + 1;
a
a = a + 1
Clear[a];

Molemmat tuottavat virheen, koska sijoitus johtaa kaavaan a = a + 
            1 = (a + 1) + 1 = ((a + 1) + 1) + 1joka ei pääty, ennenkuin Mathematica havaitsee virheen.

Totuusarvot

1. Kokeile, mitä antaa 10 != 11
2. Kokeile, mitä antaa 0==0.
3. Kokeile, mitä antaa 1<=3.
4. Kokeile, mitä antaa 10==a.
5. Kokeile, mitä antaa -10 < 10.

Ratkaisu

10 ≠ 11
0 == 0
1 ≤ 3
10 == a
-10 < 10

Lisätehtävä.

Mathematica osaa testata muuttujien ja arvojen tyyppejä. Kokeile seuraavia esimerkkejä.
1. NumberQ[1.24]
2. EvenQ[4], even = parillinen
3. OddQ[6], odd = pariton 
4. PrimeQ[7], prime on suomeksi alkuluku

Ratkaisu

Tässähän Mathematicalta kysytään, ovatko 1.24 numero, 4 parillinen, 6 pariton ja 7 alkuluku.

NumberQ[1.24]
EvenQ[4]
OddQ[6]
PrimeQ[7]

Listat

1. Muodosta lista {1,2,3,5,7,11} ja sijoita se muuttujaan x.
2. Laske yhteen listan x ensimmäinen ja viimeinen alkio.
3. Kerro listan toinen alkio kolmannella ja lisää siihen neljäs.

Tyhjennä muuttuja x.

1. Muodosta lista {a,b,c} ja sijoita se muuttujaan x.
2. Muodosta lista {1,2,3} ja sijoita se muuttujaan y.
3. Mitä luulet x+y:n antavan? Kokeile.

Tyhjennä muuttujat x ja y.

1. Sijoita A:han lista {{1,2,3}, {4,5,6}}.
2. Poimi A.n toinen alkio.
3. Poimi A:n ensimmäisestä alkiosta kolmas alkio.
4. Poimi A:n toisesta alkiosta ensimmäinen alkio.
5. Laske 3. ja 4. kohtien tulokset yhteen.

Tyhjennä muuttuja A.

Ratkaisu

x = {1, 2, 3, 5, 7, 11}
x[[1]] + x[[6]]
x[[2]] x[[3]] + x[[4]]
Clear[x]

x = {a, b, c}
y = {1, 2, 3}
x + y
Clear[x, y]

Yhteenlasku palauttaa uuden listan, jonka alkiot ovat vastaavat alkiot x:stä ja y:stä laskettuna yhteen.

Lisätehtävä.

1. Muodosta matriisi (({{a, b}, {c, d}, {e, f}})) ja sijoita se muuttujaan A. 
2. Poimi matriisin A ensimmäisen vaakarivin viimeinen alkio.
3. Miten saat poimittua e:n matriisista A?

Tyhjennä muuttuja A.

Ratkaisu

A = {{a, b}, {c, d}, {e, f}}
A[[1, 2]]
A[[3, 1]]
Clear[A]

Säännöt, yhtälöt, yhtälöiden ratkaisut.

1. Laske (x^2) + x + 1sijoittamalla x:n arvoksi 10 käyttämällä sääntöä ja sijoitusoperaattoria
2. Laske x + y sijoittamalla x:n ja y:n arvoiksi 1 ja 2 käyttämällä sääntöä ja sijoitusoperaattoria.
3. Laske ((a + 1)/(b + 2))sijoittamalla a:n ja b:n arvoiksi 3 ja 4 käyttämällä sääntöä ja sijoitusoperaattoria.
4. Aseta muuttujan x arvoksi 10 käyttämällä sääntöä ja sijoitusoperaattoria. Tyhjennä x.

1. Ratkaise yhtälö (x^2) + p x + q = 0, ja sijoita tulos muuttujaan e.
2. Ota ratkaisu listan toinen alkio.
3. Käyttäen 2. kohdan sääntöä ja sijoitus operaattoria, laske x + p.
4. Laske 3. kohdan tuloksen arvo, kun p = 1ja q = 2.
5. Ota 4. kohdan numeerinen arvo käyttäen funktiota N[...].

1. Aseta muuttujan Y arvoksi yhtälö (x^3) + p (x^2) + q x + r = 0.
2. Ratkaise yhtälö Y.
3. Tarkista ratkaisu sijoittamalla 2. kohdan ratkaisut yhtälöön Y ja sieventämällä saamasi lauseke.

1. Aseta muuttujan y arvoksi ((6 + 11 x + 6 (x^2) + (x^3))/(-x + (x^3)))
2. Kokeile funktioita Expand, Factor, Together, Apart, Cancel, Simplify, Numerator ja Denominator y:hyn.
3. Ratkaise yhtälö y = 0ottamalla lausekkeen osoittaja ja ratkaisemalla sen nollakohta.
4. Testaa ratkaisut sijoittamalla ne y:hyn. Mitä huomaat? Miten voit korjata tilanteen?

Ratkaisu

x^2 + x + 1 /. x -> 10
x + y /. {x -> 1, y -> 2}
(a + 1)/(b + 2) /. {a -> 3, 
        b -> 4}
x = x /. {x -> 10}
Clear[x]

e = Solve[x^2 + p x + q == 0, x]
e[[2]]
x + p /. %
% /. {p -> 1, q -> 2}
% // N
Clear[e]

Y = x^3 + p x^2 + q x + r == 0
Solve[Y, x]
Y /. % // Simplify
Clear[Y]

Sijoittamalla lausekkeeseen listan sääntöjä, saa tulokseksi uuden listan, jonka alkiot ovat vasemman puolen lauseke, johon on sovellettu sääntölistan vastaavaa alkiota. Tässä tapauksessa sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön sen eri ratkaisut tulee syntyä lista, jonka alkiot ovat totuuslauseita, joiden arvo on tosi.

y = (6 + 11  x + 6  x^2 + x^3)/(x^3 - 
            x)
Expand[y]
Factor[y]
Together[y]
Apart[y]
Cancel[y]
Simplify[y]
Numerator[y]
Denominator[y]
Solve[Numerator[y] == 0, x]
y /. %
Clear[y]

Lisätehtävä.

1. Ratkaise yhtälöryhmästä {({{((a x)/(Sqrt[y])) = 4}, {b x + a y = 3}})muuttujat x ja y. Funktio Sqrt[] antaa neliöjuuren.
2. Sievennä 1. kohdan tulosta.
3. Sijoita 2. kohdan tulokseen a:n ja b:n arvoiksi 1 ja 2.
4. Laske 3. kohdan numeerinen arvo käyttämällä N[...] -funktiota.

Ratkaisu

Solve[{a x/Sqrt[y] == 4, b x + a y == 3}, {x, 
        y}]
Simplify[%]
% /. {a -> 1, b -> 2}
N[%]