Elliptisten ja singulaarikertoimisten differentiaalioperaattoreiden spektraaliteoriasta

Väitöstyössä on tarkastelu euklidisen avaruuden sileäreunaisessa alueessa määriteltyä elliptistä ja parillista astetta olevaa singulaarikertoimista differentiaalioperaattoria.

Kerrointen singulaarisuus tarkoittaa, että niiden ei välttämättä tarvitse olla rajoitettuja, jatkuvia tai sileitä, vaan ne voivat olla myös rajoittamattomia, epäjatkuvia ja epäsileitä. Kerroinluokan laajuus mahdollistaa monien erityisten operaattoreiden tutkimisen, jolloin myös operaattorin soveltamisalue on laaja.

Työssä on löydetty uusia tuloksia ja yleistetty jo rajoitetuille ja sileäkertoimisille differentiaalioperaattoreille tunnettuja tuloksia singulaarikertoimisille differentiaalioperaattoreille.

Siinä on todistettu operaattorin Gårdingin epäyhtälö, operaattorin Friedrichsin laajennuksen olemassaolo, operaattorin perusratkaisun olemassaolo ja sen estimaatit, Friedrichsin laajennukseen liittyvän Greenin funktion olemassaolo ja sen estimaatit. Siinä on myös tutkittu Friedrichsin laajennuksen fraktionaalisia potensseja ja Friedrichsin laajennuksen ominaisfunktioihin liittyvän Fourier'n sarjan suppenemista. Siinä on lopuksi tutkittu Friedrichsin laajennukseen liittyvän spektraaliperheen suppenemista Sobolevin avaruudessa.