Eksponenttifunktion ja Eulerin sarjan Diofantoksen approksimaatioista

Yksinkertaisimmillaan Diofantoksen approksimaatioissa on kyse annettujen reaalilukujen arvioimisesta rationaaliluvuilla. Yleisemmin voidaan tarkastella joistakin annetuista luvuista muodostettua kertoimilla varustettua summalauseketta, lineaarimuotoa. Mikäli nämä tutkittavat luvut ovat sellaisia, että niistä muodostettu lineaarimuotolauseke on nolla ainoastaan silloin, kun lausekkeen kaikki kertoimet ovat nollia, niin voidaan tutkia, kuinka lähelle nollaa tuo lineaarimuotolauseke on mahdollista saada.

Väitöskirjassa keskitytään kahteen funktioon: eksponenttifunktioon ja Eulerin sarjaan. Näiden funktioiden arvoista muodostetuille lineaarimuotolausekkeille johdetaan alarajoja käyttäen apuna rationaalifunktioapproksimaatioita, joita kutsutaan Padé-approksimaatioiksi. Väitöskirjan ensimmäisessä työssä käsitellään eksponenttifunktiota, ja siinä todistettu alaraja antaa uuden, aiempaa paremman transkendenttimitan Neperin luvulle.

Padé-approksimaatioita muodostettaessa syntyy usean muuttujan yhtälöryhmiä, joiden ratkaisuille pitäisi saada mahdollisimman hyvä arvio. Tällaisen arvion yhtälöryhmän ratkaisulle antaa transkendenttilukuteoriassa paljon käytetty Siegelin lemma. Siegelin lemmasta on myöhemmin esitetty parannettu versio, jonka käyttöön liittyy tarkasteltavan yhtälöryhmän kerroinmatriisin minoreiden suurimman yhteisen tekijän etsiminen. Väitöskirjan toisessa työssä tutkitaan näitä Padé-approksimaatioyhtälöryhmiin ja Siegelin lemman käyttöön liittyviä suuria determinantteja ja niiden tekijöitä.

Väitöskirjan viimeisessä työssä tarkastellaan Eulerin mukaan nimettyä kertomasarjaa, joka suppenee epäarkhimedisessa metriikassa. Työssä todistetaan nollastapoikkeavuustuloksia Eulerin sarjan arvoista muodostetulle lineaarimuodolle. Lisäksi johdetaan kyseiselle lineaarimuodolle alaraja, joka parantaa aiempaa vastaavaa tulosta.