Dynamiikasta geometriaan itseaffiineilla joukoilla ja mitoilla

Koulugeometriassa opitaan nimeämään lukuisia yksinkertaisia geometrisia muotoja, kuten ympyrät, janat ja monikulmiot. Näitä muotoja käyttämällä luonnon todellisten muotojen kuvaileminen on kuitenkin mahdotonta: Pilvet eivät ole palloja, mantereet eivät ole ympyröitä eivätkä salamat piirrä suoria viivoja. Näiden todellisten muotojen kuvailemiseen on kehittynyt matematiikan ala, jota kutsutaan fraktaaligeometriaksi. Fraktaaligeometrian tarkoitus on luoda yhtenäinen kieli, jota voitaisiin käyttää sellaisten luonnossa näkyvien muotojen kuvailuun ja vertailuun, joita joutuisimme muuten kuvailemaan vain monimutkaisiksi tai muodottomiksi. Tällaisia muotoja kutsutaan yleisesti fraktaaleiksi, ja esimerkkejä sellaisista ovat esimerkiksi mantereiden rannikot, lumihiutaleet ja ihmisen keuhkot.

Koska fraktaalit eivät muistuta mitään perinteisen geometrian muotoja, myös geometristen suureiden, kuten pituus, pinta-ala tai tilavuus, laskeminen tällaisille muodoille voi olla vaikeaa tai mahdotonta. Esimerkiksi Norjan rannikon pituudeksi on eräässä viranomaislähteessä laskettu noin 50 000 kilometriä, ja toisessa yli 100 000 kilometriä: Mitä tarkempaa satelliittikuvaa mittauksessa käytetään, sitä suurempi pituus rannikolle saadaan. Tästä syystä fraktaalin kokoa on usein järkevämpää mitata fraktaaliulottuvuuden avulla. Laskemalla kahden silmämääräisesti samalta näyttävät fraktaalin fraktaaliulottuvuus on mahdollista havaita huomattavia eroja näiden rakenteessa: Esimerkiksi ihmisen keuhkoilla poikkeuksellisen pieni fraktaaliulottuvuus voi lääketieteellisten tutkimusten mukaan viitata sairauden aiheuttamiin rakennepoikkeamiin.

Väitöskirjatutkimuksessani tutkin sellaisia fraktaalien ominaisuuksia, joiden tunteminen on usein välttämätöntä sovellusten kannalta. Usein on esimerkiksi oleellista, että fraktaalin valokuvan fraktaaliulottuvuus on sama riippumatta suunnasta, josta kuva on otettu. Toinen tärkeä ominaisuus on, että fraktaaliin kohdistuvat satunnaiset ja epäoleelliset vääristymät eivät tuhoa sen rakennetta merkittävästi. Väitöskirjatutkimuksessani varmistan nämä ja muita samankaltaisia ominaisuuksia useille sellaisille fraktaaleille, joille niitä ei aiemmin tunnettu. Tutkimuksessani en kuitenkaan käsittele kuvia rannikoista tai keuhkoista, vaan fraktaalien yleisiä matemaattisia malleja, joita voidaan samanaikaisesti käyttää kuvaamaan useaa luonnosta löytyvää fraktaalia.