Kuvahajotelmista, segmentoinnista ja kohinanpoistosta variaatiomenetelmiä käyttäen

Väitöstyössä tutkittiin kolmea matemaattiseen kuvankäsittelyyn liittyvää ongelmaa. Tutkimuksessa tarkasteltiin kuvahajotelmia, segmentointia ja kohinanpoistoa. Ongelmien lähestymistavat perustuvat variaatiolaskentaan funktioavaruuksissa.

Variaatiomenetelmä on tehokas lähestymistapa moniin kuvankäsittelyn inversio-ongelmiin. Tässä menetelmässä matemaattinen malli muotoillaan minimointiongelmana. Kuvien ajatellaan olevan jatkuvassa alueessa määriteltyjä funktioita, jotka kuuluvat tiettyihin matemaattisiin avaruuksiin. Tällainen abstrakti lähestymistapa mahdollistaa vahvojen matemaattisten teorioiden soveltamisen. Yleisesti ottaen raja-arvon käsite voi antaa tehokkaan analysointityökalun verrattuna täysin diskreetteihin muotoiluihin.

Väitöskirjan ensimmäinen osa käsittelee kuvahajotelmia, jolloin alkuperäinen kuva pyritään esittämään paloittain sileän osan ja oskilloivan osan summana. Tällaisen hajotelman hyödyntäminen voi olla hyvinkin luonnollista, jos pelkästään struktuuri- tai tekstuurikuviin erikoistuneiden menetelmien avulla halutaan käsitellä myös kuvia, joissa on molempia komponentteja. Väitöskirjassa esitetyssä variaatiomallissa on tutkittu ratkaisun olemassaoloa sekä esitetty numeerisia tuloksia.

Väitöstyön toinen osa on teoreettinen liittyen kuvan segmentointiin. Työssä tarkastellaan erästä yhteyttä kahden klassisen segmentointimenetelmän välillä. Mumford-Shah-funktionaalin minimointi ja Perona-Malik-diffuusio ovat kaksi ensi näkemältä varsin erilaista menetelmää kuvien segmentointiin ja entisöintiin. Väitöstyössä osoitetaan, että eräs regularisoitu Perona-Malik-tyyppinen funktionaaliperhe Gamma-suppenee kohti Mumford-Shah-funktionaalia, kun parametri, joka määrää skaalauksen ja lokaalin silotuksen määrän, lähestyy nollaa.

Kolmas osa liittyy kuvien kohinanpoistoon. Väitöstyössä tarkastellaan menetelmää, jossa minimoitavan energialausekkeen regularisointitermi on kuva-adaptiivinen ja vaihtelee isotrooppisesta silotuksesta anisotrooppiseen silotukseen riippuen käsiteltävän pikselin ympäristöstä. Työssä tarkastellaan minimointiongelman ratkaisun olemassaoloa ja esitetään myös numeerisia tuloksia.