Minimaaliset distaaliset systeemit

Tutkimus kuuluu topologisen dynamiikan piiriin. Topologisessa dynamiikassa tarkastellaan abstrakteja systeemejä, jotka kuvastavat parametrien avaruudessa tapahtuvia muutoksia ajan kuluessa.

Väitöstutkimus koskee minimaalisten distaalisten systeemien ominaisuuksia. Erityistarkastelussa on kvasidiskreetti spektri sekä ne systeemit, joilla on useita invariantteja mittoja (toisin sanoen ei-yksikäsitteisesti ergodiset systeemit). Lisäksi tutkimus valottaa distaalisista funktioista koostuvia algebroja. Kvasidiskreetti spektri kytkeytyy läheisesti polynomien avulla määriteltyihin funktioihin, ja ei-yksikäsitteisesti ergodiset systeemit vastaavat sellaisia funktioita, joille ei voida määritellä yksikäsitteistä keskiarvoa.

Väitöskirjassa osoitetaan, että kokonaislukujen ja reaalilukujen universaaleilla ryhmäkompaktisoinneilla on tietyssä mielessä suurin mahdollinen määrä invariantteja mittoja. Tämän seurauksena voidaan monet distaalisten funktioiden tekijäalgebrat todeta ei-separoituviksi. Taustalla on minimaalisten distaalisten systeemien keskinäisen riippumattomuuden karakterisointi maksimaalisten yhtäjatkuvien tekijöiden avulla.

Kvasidiskreetin spektrin tutkimuksessa lähtökohtana on tiettyjen toruksella määriteltyjen affiinien systeemien ympäröivien puoliryhmien löytäminen. Nämä puoliryhmät ovat itse asiassa ryhmiä yleisen teorian nojalla. Väitöskirjassa kuvaillaan nämä ryhmät täsmällisesti. Niiden kautta voidaan osoittaa, että kvasidiskreetti spektri ei periydy tekijäsysteemeille. Toisaalta minkä tahansa tällaisen systeemin tekijän ympäröivällä puoliryhmällä on kvasidiskreetti spektri.