Moniulotteisia sirontaongelmia epälineaariselle biharmoniselle operaattorille

Sirontateoria tutkii aaltoliikkeeseen muodostuvia häiriöitä, eli väreitä. Siinä aalto lähetetään kappaletta kohti, ja vuorovaikutus aallon ja kappaleen välillä aiheuttaa aallon siroamista väreiksi. Tutkimalla syntynyttä sirontakuviota voidaan selvittää erilaisia tutkittavan kappaleen ominaisuuksia, kuten muotoa ja sijaintia. Sirontateorialla on lukuisia käytännön sovelluskohteita, kuten lääketieteellinen kuvantaminen, tutkajärjestelmät ja laadunvalvonta.

Tutkimuksemme alkaa aaltoliikettä kuvaavan matemaattisen mallin tutkimisella, ja niin kutsutun suoran sirontaongelman ratkaisemisella. Todistamme että tietynlaiset kappaleet tuottavat aina yksikäsitteisen sirontakuvion, kun sitä kohti lähetetään tasoaalto. Tämä yksikäsitteisyys on tärkeää, sillä tutkimuksemme tavoitteena on löytää yhteys sirontakuvion ja tutkittavan kappaleen välillä.

Kun olemme löytäneet millaiset kappaleet tuottavat tämän yksikäsitteisen sirontakuvion, alamme tutkia käänteistä sirontaongelmaa. Siinä vaihdamme sirontaprosessin alkuarvojen (tutkittava kappale) ja lopputuloksen (sirontakuvio) rooleja, ja pyrimme osoittamaan, että sirontakuvion tunteminen kertoo meille tärkeitä kappaleen ominaisuuksia. Tutkimme kolmea eri käänteistä sirontaongelmaa, jotka vastaavat erilaisia datajoukkoja. Täyden sirontadatan ongelmaksi kutsutaan tilannetta, jossa sirontakuvio tunnetaan kaikissa mahdollisissa suunnissa, joka suunnista tuleville tasoaalloille, joiden aaltoluku on mielivaltaisen suuri.
Täyden sirontadatan ongelman lisäksi tutkimme tapauksia, joissa oletamme sirontadatan olevan saatavilla vain rajoitetuissa suunnissa. Osoitamme että takaisinsirontadatan ja niin kutsuttu kiinnitetyn kulman sirontadatan perusteella voidaan selvittää kappaleen tietynlaisten reunaosien sijainti ja jyrkkyys. Tutkimuksessamme olemme myös soveltaneet numeerisia menetelmiä tukeaksemme teoreettisesti saatuja tuloksia.