Satunnaisten peitejoukkojen dimensio-ominaisuudet

Fraktaalit ovat joukkoja, joissa esiintyy mielenkiintoisia yksityiskohtia mielivaltaisen pienillä mittakaavoilla. Fraktaalit ovat usein liian monimutkaisia kuvailtavaksi klassisin menetelmin, jonka vuoksi fraktaalien tutkimiseen on kehitetty matematiikan ala nimeltään fraktaaligeometria. Eräs keskeinen tutkimusongelma fraktaaligeometriassa on tarkastella fraktaalien kokoa. Fraktaalien tapauksessa usein esiintyvä ilmiö on, että tutut kokoa kuvailevat käsitteet, kuten pituus, pinta-ala tai tilavuus, eivät anna riittävän tarkkaa tietoa tarkasteltavan fraktaalin koosta. Esimerkiksi tasossa on paljon fraktaaleja, joiden pituus on ääretön, mutta pinta-alla on nolla. Tällaisia fraktaaleja ei siis pystytä erottamaan toisistaan tarkastelemalla niiden pituutta ja pinta-alaa, vaikka jotkin tällaiset fraktaalit vaikuttavat selvästi suuremmilta kuin toiset. Tällaisissa tapauksissa dimension, eli fraktaaliulottuvuuden käsite on usein hyödyllinen, sillä sen avulla voidaan saada tarkempaa tietoa tarkasteltavan fraktaalin koosta.

Väitöskirjassani tutkin satunnaisiksi peitejoukoiksi kutsuttujen satunnaisten fraktaalien kokoa, eli dimensiota. Karkeasti kuvailtuna, satunnaisia peitejoukkoja saadaan muodostettua valitsemalla jokin jono haluamiaan muotoja (esimerkiksi palloja tai suorakaiteita tasossa), ja sijoittamalla näitä muotoja ympäriinsä satunnaisesti. Satunnainen peitejoukko koostuu tällöin niistä (tason) pisteistä, jotka tulevat peitettyä äärettömän monella satunnaisesti sijoitetulla muodolla. Tutkimusongelmana on tällöin tarkastella, kuinka suuria nämä satunnaiset peitejoukot tyypillisesti ovat dimension mielessä. Tätä asetelmaa voi muuttaa vaihtamalla tausta-avaruutta, valitsemalla eri muotoja tai muuttamalla sanan ”satunnaisesti” merkitystä, ja ongelman luonne riippuu vahvasti valitusta asetelmasta. Eräs erityisen mielenkiintoinen tilanne, joka on väitöskirjani keskiössä, saadaan kun satunnaisuuden määräävällä todennäköisyysmitalla on jo itsessään joitain fraktaalisia ominaisuuksia.