Sidotut tilat erilaisissa kvanttiaaltojohteissa

Väitöstutkimuksessa on tutkittu kolmeen erityyppiseen kvanttiaaltojohteeseen liittyvää ominaisarvo-ongelmaa ja erityisesti niin kutsuttujen sidottujen tilojen esiintymistä. Tutkimuksessa aaltojohteiden geometriaa muutettiin vaiheittain, ja havaittiin, että pienetkin muutokset aaltojohteen geometriassa voivat johtaa tuntuviin muutoksiin diskreetissä spektrissä eli sidottujen tilojen esiintymisessä.

Kvanttiaaltojohteet ovat systeemejä, joissa aallon eteneminen on rajoitettu tiettyihin suuntiin ja jossa aaltojohteen koko poikittaissuunnassa on huomattavan pieni. Aaltojohteen kiderakenne, puhtaus ja pieni koko poikittaissuunnassa johtavat siihen, että partikkelin liikettä aaltojohteessa dominoivat kvanttimekaaniset lait. Tutkimuksemme kvanttiaaltojohteet muistuttavat geometrialtaan Y-, Z- ja C-kirjainta. Poikittaissuunnassa aaltojohteen leveyden annetaan osin hieman muuttua.

Ominaisarvo-ongelmassa keskitymme diskreettiin spektriin, sillä diskreetin spektrin ollessa epätyhjä, aaltoliike ei etene johteessa kyseisellä taajuudella, ja syntyy niin kutsuttu sidottu tila. Esimerkiksi suoran kvanttiaaltojohteen taipuminen aiheuttaa sidotun tilan, samoin kuin aaltojohteen leveydessä oleva pullistuma.

Sidottujen tilojen esiintymistä voidaan tutkia ratkaisemalla Laplacen ominaisarvo-ongelma Dirichlet’n nollareunaehdoilla kyseisessä aaltojohteessa. Yleisesti osittaisdifferentiaalioperaattoreihin liittyvät ominaisarvo-ongelmat ovat analyyttisesti ratkaistavissa ainoastaan hyvin yksinkertaisten geometrioiden kohdalla. Oleellisen spektrin alapuolella olevia ominaisarvoja voidaan etsiä variaatiomenetelmin, erityisesti voidaan selvittää ominaisarvojen lukumäärää, mutta tarkkaa kuvaa ominaisarvojen sijainnista diskreetissä spektrissä ei useimmiten saada. Toinen tapa lähestyä ongelmaa on numeerinen ratkaiseminen esimerkiksi elementtimenetelmää käyttäen. Kolmantena lähestymistapana on käytetty asymptoottista analyysia kuvaamaan ominaisarvoissa tapahtuvaa muutosta geometrian muuttuessa.

Kvanttiaaltojohteilla voidaan havainnollistaa esimerkiksi mikrokokoisten puolijohderakenteiden toimintaa. Sovellusten kannalta on tärkeää tietää mahdollisten sidottujen tilojen olemassaolo sillä niillä voi olla suuri vaikutus laitteen toimivuuteen.